ПЕТРОВ Алексей Николаевич



ФИЗИКИ
НИИЯФ




Раствор конуса потерь. Критические питч-углы.


Рис. 1. Схема движения частицы в магнитном поле. Определения параметров.

Представим себе частицу, захваченную в магнитном поле Земли (Рис. 1). Она, как хорошо известно, вращается вокруг силовой линии по ларморовскому кружку, совершает колебания вдоль силовой линии и испытывает азимутальный дрейф по всем долготам вокруг Земли. Периоды этих движений увеличиваются в порядке перечисления.
Рассмотрим частицу у вершины силовой линии (точка с напряженностью поля B0 в правой части рисунка). Пусть она находится на оболочке с параметром L (измеряется в радиусах земли Rз и равен расстоянию от центра Земли до вершины силовой линии). Если ее питч-угол 90°, она не испытывает колебаний и находится все время на одном и том же расстоянии от Земли (поле предполагается дипольным). Если же питч-угол меньше 90°, она начинает колебаться вдоль силовой линии и отражается в некоторой точке с напряженностью Bm (m - mirror, зеркальная точка, англ.). Пусть магнитная широта этой точки отражения равна λ, высота над Землей h. Чем меньше питч-угол на экваторе α, тем ниже высота точки отражения, тем меньше h.
Если так случилось, что в точке отражения частица заходит на высоту h меньше или порядка 100 километров, она может "погибнуть" в атмосфере и перестать участвовать в колебательном движении. Рассчитаем, каким должен быть питч-угол частицы на экваторе, чтобы точка отражения частицы располагалась на высоте h.
Назовем этот питч-угол критическим (αкр). Частица с питч-углом меньше αкр погибнет заведомо, поэтому диапазон питч-углов от 0 до αкр называется конусом потерь, а αкр еще называется раствором конуса потерь.
Из закона сохранения первого адиабатического инварианта
.
Уравнение силовой линии магнитного диполя
,
напряженность магнитного поля в зависимости от r,λ имеет вид
.
где M~0,3 Гс - напряженность магнитного поля на экваторе Земли при L=1. Значит, в точке у вершины силовой линии расстояние равно
,
а напряженность магнитного поля будет равна
.
В точке отражения, исходя из тех же формул,
.

Объединяя все упомянутые выше выражения, получаем для критического угла выражение вида
.
Осталась одна неизвестная величина λ, которую можно рассчитать по уже использовавшейся формуле
,
где r в точке отражения равно Rз+h, значит
.
Подставляя это выражение в формулу для критического угла, получаем

Перейдем от выражений типа Rз+h к выражениям, содержащим h/Rз. Получаем


Отсюда видно, что полученное выражение безразмерно и, скорее всего, ошибок в вычислениях не было.

Если взять для расчета Rз=6400 км, h=100 км, диапазон по L от 1.02 до 7, получим следующую таблицу критических питч-углов:

L

sin2α

α, rad

α °

1,02

0,99

1,46

83,51

1,03

0,96

1,37

78,36

1,04

0,93

1,31

74,98

1,06

0,88

1,22

70,09

1,08

0,84

1,16

66,42

1,1

0,8

1,11

63,43

1,2

0,64

0,93

53,38

1,3

0,54

0,82

47,10

1,4

0,46

0,74

42,56

1,5

0,40

0,68

39,06

2

0,23

0,5

28,65

3

0,11

0,34

19,74

4

0,07

0,27

15,46

5

0,05

0,22

12,88

6

0,04

0,19

11,13

7

0,03

0,17

9,85

Для меньших L получается значение больше единицы, и потому для них невозможно рассчитать соответствующие критические питч-углы.
На Рис. 2 показана зависимость критического питч-угла от L. Подведем итоги:

  1. Частица с питч-углом, равным критическому или больше, попадает в конус потерь и гибнет в атмосфере.
  2. В максимуме радиационного пояса критический питч-угол порядка 10-20°. Чем ближе к Земле, тем шире раствор конуса потерь.
  3. Предельное значение раствора конуса потерь достигается на L<1.02.

Подчеркнем недостатки проведенного выше расчета и возможные пути их решения.

  1. Магнитное поле Земли на самом деле не дипольное. В литературе описаны методы модификации расчета, например, введением смещения центра диполя от центра Земли. Можно проводить расчет с помощью моделей магнитного поля (например, IGRF, модели Цыганенко и др.), которые гораздо ближе к реальному.
  2. Радиус Земли взят с большим округлением.
  3. Высота атмосферы не может быть определена в точности и 100 км это лишь приблизительная оценка.

Использованная литература

Х. Редерер, Динамика радиации, захваченной геомагнитным полем. Мир, Москва, 1972.